1.1 节是一条从"名字"到"定义"的路线，中间只隔着一个关键认识：博弈论研究的不是游戏，而是游戏与经济活动共有的那种结构。

"博弈论"译自英文 Game Theory。Game 的基本意思是游戏，所以直译过来应该叫"游戏理论"。 这个名字容易让人以为研究对象是躲猫猫、围棋、桥牌或球赛，其实不是。

博弈论真正盯上的是这样一类问题：它的外壳可以是游戏，也可以是商业竞争或政治谈判，但内核是同一个—— 决策者之间存在策略和利益的相互依存。书的原话是："博弈论研究的主要不是这些真正的游戏，而是与这些游戏有共同本质特征的决策或者说策略问题。"

游戏的四条共同特征

把扑克、棋类、体育比赛放在一起看，抽象掉具体玩法，能抽出四条共性。这四条就是博弈论的研究对象：

第 ④ 条是全部博弈论的起点。它推出一个反直觉的结论：在有策略依存性的博弈里，策略本身常常没有绝对的好坏之分，只有相对于他方策略的相对好坏。 一个差的策略选择也许带来并不差的结果，原因只是对手选了更差的策略。

经济活动里的策略依存

书里给了三个经济场景，都不是游戏，但结构和游戏完全一样：

• 寡头厂商的产量决策。某厂商的利润不仅取决于自己的产量，还取决于其他厂商的产量。别人产量大，市场拥挤、价格低，你的最佳产量和利润都下降；别人产量小则相反。
• 市场阻入。先占领市场的厂商可以选择"宽容"接受后来者，也可以降价打击。阻入策略的效果很大程度上取决于后到者的反应——对方知难而退则阻入成功，对方知难而上则两败俱伤，此时容忍反而更合算。
• 投标拍卖。你既想中标又想中标价低。竞争不激烈时低价能中标，竞争激烈时就必须出高价。你的报价与竞争者的报价之间是直接的决策较量。

这类问题在经济、政治、军事中普遍存在。决策较量当然不像小游戏那么轻松，但原理相同—— "从研究游戏规律得出的结论，可用来指导经济、政治等活动中所遇到的重要决策问题"。这就是这门学科叫"游戏理论"的原因。

为什么中文叫"博弈"而不是"对策"

博弈论在我国也曾被称为"对策论"，具体的博弈问题叫"对策问题"。作者认为这个译名并不恰当，理由值得一记：

所以选"博弈"这个字面生僻、带文言味的词，是因为它更能表达"一个完整过程"的意思； 而"显得学术味浓一些"这个副作用，作者自嘲说可能会让一些读者不敢去碰博弈论的书——但他认为对真正想钻研策略问题的人，这反而是件好事。

既然不需要数学，书里就给了"博弈"一个直白的、非技术性的定义：

这句话看起来平常，但每一个逗号都在排除一种情况。"同时或先后"排除了只允许同时决策的模型， "一次或多次"把重复博弈也装进来，"各自取得相应结果"则说明每个博弈方都要有一个明确归属的所得。

再往下一层，书的定义本身可以拆成四个必须设定的方面。这四个方面是本书此后每一章反复回访的坐标轴：

由此得到本书对博弈论的界定——它研究可以用上述方法定义的各种博弈问题，寻求在各博弈方具有 充分或有限理性（Full or Bounded Rationality）、能力的条件下，合理的策略选择和合理选择策略时博弈的结果， 并分析这些结果的经济意义、效率意义的理论和方法。

1.1 节没有公式，速查的是定义本身。下面这份表可以当填空自测用：遮住右列，看能不能补全。

五个经典模型分成两组：前四个是"从游戏或故事里抽象出来的"，最后一个古诺模型是唯一从经济学内部长出来的。 本节只作直接分析，正式的求解工具（纳什均衡等）留到第二章。

这是全书第一个博弈模型，1950 年由图克（Tucker）提出。书里说它"虽然非常简单，但很好地反映了博弈问题的根本特征"， 而且是"每本博弈论教材都必讲的、特别经典的博弈模型"。它的地位来自一个反差：模型极小，含义极大。

基本模型

警察抓住了两个合伙犯罪的罪犯，但缺乏足够证据指证罪行。只要其中至少有一人供认犯罪，就能确认罪名成立。 为防止串供，两名罪犯被分别关押，并得到同样的选择机会：

• 两人都拒不认罪 → 各以较轻的妨碍公务罪判 1 年；
• 两人中有一人坦白认罪 → 坦白者从轻处理立即释放，另一人重判 8 年；
• 两人同时坦白认罪 → 各判 5 年。

用 0 表示立即释放的得益，用 −1、−5、−8 表示判 1 年、5 年、8 年的得益，这个博弈就可以写成下面这个矩阵。 这种矩阵是表示博弈问题的一种常用方法，称为博弈的得益矩阵（Payoff Matrix）。

因为两名囚徒被隔离，任何一人在选择时都不可能知道另一人的选择，所以不管他们决策的时间是否真正相同， 都可以把他们的决策看作同时作出的。这是一个两博弈方、策略和得益都对称的博弈。

直接分析：为什么结果是（坦白，坦白）

对囚徒 1 来说，囚徒 2 有两种可能的选择，逐一假设：

• 假设囚徒 2 选"不坦白"：囚徒 1 不坦白得 −1，坦白得 0 → 应选坦白；
• 假设囚徒 2 选"坦白"：囚徒 1 不坦白得 −8，坦白得 −5 → 还是应选坦白。

无论对方怎么选，坦白给囚徒 1 带来的得益都是最大的。这时称"坦白"是囚徒 1 的一个上策（Dominant Strategy）。 囚徒 2 的情况完全相同，于是（坦白，坦白）是必然结果，两人各判 5 年。

困境"困"在哪里

关键在于：（坦白，坦白）对双方都不是最好的结果。都"不坦白"各得 −1，明显好于都"坦白"各得 −5。 但两人不能串通，各人都追求自身最大利益而不会顾及同伙，又都不敢指望对方有合作精神，于是只能实现对双方都不理想的结果。 这种结果具有必然性，很难摆脱，所以叫"囚徒的困境"。

书里把它拆成两层矛盾，这两层要分清楚：

市场竞争中最典型的囚徒困境现象之一是寡头之间的价格战。降价争夺市场十分普遍，但削价竞争并不一定是成功的策略—— 一个厂商的削价往往引起对手报复，此时降价不一定扩大销量，却很可能白白降低利润率。

设寡头 1 和寡头 2 原来用同一种"高价"销售相同产品，各自获得 100 万元利润。如果某个寡头单独降价， 它可以获得 150 万元，此时另一寡头因市场份额被抢走，利润下降到 20 万元；如果两寡头都降价， 则双方都只能得到 70 万元。写成得益矩阵：

结论与囚徒的困境完全一致，用同样的思路走一遍即可：不论对方选高价还是低价，"低价"都是自己的最优选择 （150 > 100；70 > 20）。所以最终一定是双方都采用"低价"，各得 70 万元，而各得 100 万元的结果无法实现。

赌胜博弈是一类很有特点的博弈，按后面的分类属于零和博弈，而且是具有某种对称性的零和博弈。 它大多来源于游戏，但社会经济中也有许多相似的问题。这一节用三个经典例子来说明。

一、齐威王田忌赛马

故事本身众所周知：齐威王的上、中、下三匹马分别比田忌的上、中、下三匹马略胜一筹， 而比赛规则是同等次的马对阵，所以田忌每次都连输三场、连输三千斤铜。 孙膑出的主意是改变出场次序——用下马对齐威王的上马，上马对中马，中马对下马，二胜一负，反而赢一千斤铜。

书里特意点出：如果故事到此结束，它还只是"单方面运用策略"的简单问题，因为只有田忌一方用了策略， 齐威王没有作出反应。一旦齐威王也改变出场次序，这才构成真正的博弈。下面这一步是本节的要点：

为什么必须规定"不能预先知道对方出场马的等级、一旦决定就谁也不准反悔"？因为不这样的话， 双方都想等对方决定之后再决定，或见到对阵形势不利就想换马，比赛就无法进行了。 书里还提醒：也可以硬性规定必须相同等级的马比赛，总让齐威王赢，但那时就不再存在策略较量问题，不再是一个博弈问题。

这个博弈的三个特点

• 不能让对方猜中自己的策略。一旦策略被猜中，对方就能针对性选择，己方必输无疑。这意味着策略选择不能一成不变，甚至变动还不能有规律性，必须以随机的方式选择策略。
• 六种策略本身没有优劣之分。对齐威王来说，每一种策略都可能有六种不同结果——一种得益为 3、四种得益为 1、一种得益为 −1。究竟得哪种，主要看对方策略与己方策略的对应情况，而不是己方策略本身。田忌同理（一种得 1，四种得 −1，一种得 −3）。所以两博弈方对己方策略并无偏爱，应以相同的概率选用。
• 偏爱某种策略反而有害。因为一旦对方得知你的偏爱，就可以作针对性选择，从而有更多的机会赢你。

由此可以得出：这种博弈如果只进行一次，双方的策略选择和最终结果是无法确定的，输赢主要取决于机会和运气。 不过齐威王三匹马的总体实力强于田忌，所以他仍然占有优势，赢的机会比田忌大得多。 但如果博弈进行不止一次而是许多次，上面的讨论就给出了决策原则，进一步的讨论还能告诉我们多次博弈后的平均结果—— 这在第二章展开。

二、猜硬币博弈

两人通过猜硬币的正反面赌输赢：一人用手盖住硬币，另一人猜。猜对，猜者赢 1 元、盖者输 1 元；否则猜者输 1 元、盖者赢 1 元。 赢记 1、输记 −1，得益矩阵如下。这是一个"2×2 博弈"，只有四种可能结果，比齐威王田忌赛马更简单， 但本质特征相似：双方利益严格对立，取胜关键都是不能让对方猜到自己的策略，同时自己又要尽可能猜出对方的策略。

三、石头 · 剪子 · 布

石头胜剪子、剪子胜布、布胜石头，手势相同为和。用 0 表示没有输赢、1 表示赢、−1 表示输，得到 3×3 的得益矩阵。 书里评论这个游戏"虽小，却包含有相生相克、以柔克刚等相当深刻的哲理"，其性质与齐威王田忌赛马、猜硬币都是相似的。

三个博弈合起来看，赌胜博弈的共同点是：双方利益严格对立，取胜的关键都是隐藏自己的策略同时猜出对方的策略。 在一次性博弈中结果取决于机会；在多次重复中，如果双方决策方式都正确，可以求得平均的双方得益。

前面几个模型在分析经济问题时有许多应用，但它们本身却多数不是从经济问题中引出的。 为了让读者对经济博弈有更多了解，这一节介绍一个经典的经济博弈模型：寡头之间通过产量进行竞争的古诺模型。 书里给了两个版本——先是离散产量的三厂商版本，再是连续产量的 n 个厂商版本。

一、三厂商离散产量博弈

出发点是一个市场事实：市场容量总是有限的。在一定的价格水平上一个市场能销出的数量有限， 投放超出这个数量就必须降价才能全部销出。换言之，能够将商品全部销售出去的价格——也称为市场出清价格—— 是投放到该市场上商品数量的函数。

设三个厂商在同一市场生产销售完全相同的产品，产量分别为 q₁、q₂、q₃， 且只能取 1、2、3… 等正整数（即产量是离散的）。市场出清价格是总产量 Q = q₁+q₂+q₃ 的函数， 也称为倒转的需求函数。假设它是：

再假设生产无成本（主要是为了分析简单和突出博弈关系；当三厂商生产的是石油或矿泉水等天然资源型产品时，该假设也接近现实）， 三个厂商同时决定各自的产量。

先排除不可能的范围

在求解之前先作一些粗线条的分析，把不可能选择的产量范围排除掉：

• 即使生产没有成本，厂商也不会无限制扩大生产——总产量上升必然引起价格下降，总产量等于或超过 20 单位时利润完全为零，所以每个厂商的产量不可能超过 20。
• 进一步，各自产量实际上不太可能超过 10。因为即使其他两个厂商都不生产，作为垄断者的厂商最佳产量也只有 10（据微观经济理论很容易证明），更何况这不是垄断市场，其他厂商的竞争必然使每个厂商的市场空间更小。
• 加上产量只取正整数，实际需要分析的产量就只有有限的几种。

利润函数

由于三厂商产量之和超过 20 时价格和利润都降到 0——这是三家都不愿意的——可以假设总产量始终不大于 20。此时厂商 i 的利润函数为：

这个公式明确反映了三厂商策略和利益的依存关系：每个厂商的利润都与所有厂商的产量有关，而不是只跟自己的产量有关。 根据它和上面的价格函数，很容易算出在产量组合（4, 8, 6）时市场价格为 2，三厂商利润分别为 8、16、12——这就是表 1.1 的第一行。

表 1.1 三厂商离散产量组合对应价格和利润（行序与原书一致）

试探与调整：从（4, 8, 6）走到（5, 5, 5）

书里采用"比较和试探"的方法来确定均衡产量。不妨假设三个厂商开始时分别生产 4、8、6 单位（从其他组合起步也行，区别只是调整路径不同，结果肯定相同）：

1. 起点（4, 8, 6）：总产量 18，价格 2，利润（8, 16, 12）。总量明显太高了——任何一个厂商降低自己的产量都能使所有厂商的利润增加。
2. 厂商 2 降到 5 →（4, 5, 6）：价格升到 5，利润升到（20, 25, 30）。此时厂商 2 和厂商 3 都满意，但厂商 1 不满意——它利润最低（20），而且提高 1 单位产量利润并不会降低，还能改善相对地位。
3. 厂商 1 提到 5 →（5, 5, 6）：价格降到 4，利润（20, 20, 24）。仍不稳定，因为此时厂商 3 将产量降低 1 个单位可以提高自己的利润。
4. 厂商 3 降到 5 →（5, 5, 5）：价格 5，三家利润都是 25。任何一家单独提高或降低产量都只会减少利润而不会增加利润，所以这是一个均衡。

二、n 个厂商连续产量博弈

现在考虑 n 个厂商销售相同产品的寡头市场。假设各家可自由选择任何产量，厂商之间既不存在相互协商也不受相互限制， 并且在同一时间决定产量——严格意义上的同时决定不容易做到也不必要，这里的"同时"主要是表明各厂商在决定生产多少时 不能知道其他厂商的决定；由于许多商品生产周期相当长，这一点常常是可以成立的。

关键的变化在于：如果假设产量是连续可分的（为了数学处理方便），则每个厂商都有无限多种可供选择的产量， 意味着我们不可能用罗列的办法或者矩阵、图表的形式把它们表达出来——这就是后面"无限博弈"的雏形。

得益是生产的利润，也就是销售收益减去成本。设厂商 i 的产量为 q_i，则总产量 Q = Σq_i； 市场出清价格 P 是总产量的减函数 P = P(Q)，因此 P = P(Σq_i)。 厂商 i 的收益就是 q_i · P(Σq_i)。再假设单位产量的成本为固定常数 c （即没有不变成本，边际成本等于平均成本等于常数 c），则生产 q_i 单位的总成本为 c q_i。于是：

π_i = 厂商 i 的利润 · q_i = 厂商 i 的产量 · P(·) = 市场出清价格 · c = 单位产量的固定成本

从这个公式容易看出：厂商 i 的得益不仅取决于既定的单位成本 c 和自己的产量决策 q_i， 还通过价格取决于其他厂商的产量决策。因此厂商 i 在决策时必须考虑其他厂商的决策方式以及它们对自己决策的可能反应。 换句话说，其他厂商的产量决策本身又是厂商 i 产量的函数——这种复杂的相互依存关系，"绝对没有表面上看起来这么简单"。

古诺模型的三条式子

三条式子的共同含义：每个厂商的利润都取决于所有厂商的产量，而不是只取决于自己的产量。这正是策略依存性在函数式上的样子。

上策的判定条件

把四个关键得益记成 T（单独背叛）、R（相互合作）、P（相互背叛）、S（被对方背叛）， 那么"背叛是上策"要同时满足两条，而"构成囚徒的困境"还要再加一条：

三条合起来就是经典排序 T > R > P > S。前两条保证背叛是上策，第三条保证那个上策均衡不是好结果。 缺了第三条，"困境"就消失了——用模型 1 把 R 拖到 P 以上就能看到。

五个模型速查

1.3 节把 1.1 节给出的四个方面各自展开成一个维度，每个维度切出几种类型，最后在 1.3.7 节汇总成整本教材的章节结构。 七个小子节——七个格子。

博弈方是博弈中独立决策、独立承担博弈结果的个人或组织。这个定义是排他性的，书里给了两个典型反例：

• 囚徒的困境中只制定规则、自身不参与决策活动的警察，不是博弈方；
• 齐威王田忌赛马中虽参与决策、但附属于田忌、既不独立决策也不承担后果的孙膑，也不是博弈方。

因为博弈的根本特征是策略依存性，博弈方越多，这种依存关系越复杂、分析越困难，所以博弈方的数量是博弈结构的关键参数之一。 按数量，博弈分为"单人博弈""两人博弈"和"多人博弈"——这里的"人"不一定是自然人，也可以是经济社会组织。

一、单人博弈

单人博弈即只有一个博弈方的博弈。书里说得很直白：严格地讲，单人博弈已经退化为一般的最优化问题，不属于博弈论研究的目标对象。 讨论它有三个理由——使博弈理论的结构更完整；为分析复杂的多人博弈提供启示；两人、多人博弈（包括多阶段动态博弈） 常要转化为多个、多层次的单人博弈来分析。所以单人博弈是博弈分析的基础。

例一：单人迷宫

游戏者从迷宫的入口进入后，能不走任何回头路而顺利到达出口，就能获得奖金 M，否则得不到任何奖金。

把这个迷宫写成一个博弈问题，四个方面是：（1）唯一的博弈方是游戏者； （2）他有"A 处左转，B 处左转""A 处左转，B 处右转""A 处右转，B 处左转""A 处右转，B 处右转"四种策略； （3）只有一个博弈方，不存在与其他博弈方选择、行动的先后次序问题； （4）得奖金算得益 M，得不到算 0，四种策略对应的得益分别是 0、M、0、0。

因为只有一个博弈方，得益矩阵退化为一个向量：

当游戏者事先对这四种策略的得益很清楚、在 A、B 两处能对哪边走得通作出准确判断时，该博弈的解是简单明了的： 他必然选择"A 处左转，B 处右转"，顺利走出迷宫并取得得益 M。

由于策略包含两步行动选择，还可以画成扩展形（Extensive Form）。这种图形中的圆圈称为选择节点或节点（Nodes）， 也称信息集（Information Set）；A、B 分别表示两节点对应的博弈方选择的两个地点，数字 1 表示博弈中唯一的博弈方。 从信息集引出的线条代表该处可选择的各种行动或方向，黑点表示终端，括号中的数字是沿相应行动路径到达终端时的得益。

扩展形表示法有直观明了的好处，能比较形象地反映实现每个得益的策略路径。与得益矩阵相比， 由于它能反映博弈过程中选择、行为的先后次序，因此特别适合表示后面要介绍的"动态博弈"。

例二：运输路线（引入"大自然"）

一个商人要从 A 地往 B 地运一批货。走陆路成本 10 000 元；走水路成本只要 7 000 元， 但走水路有风险——一旦遇到暴风雨会造成相当于货物总价值 10% 的损失。已知货物总价值 90 000 元， 运输期间出现暴风雨天气的概率为 1/4。问商人该选哪条路线？

与单人迷宫的关键不同是：这里博弈方决策时面临的条件中有一个不确定因素。只知道天气的概率分布，不知道实际情况。 为了把天气因素放进博弈，需要引进一个代表随机选择作用的博弈方——"大自然"（Nature），称为"博弈方 0"， 真正决策的商人称为"博弈方 1"。

以商人运输成本加上损失的负值作为得益，得到得益矩阵：

书里说明这个博弈的次序：商人决策时不知道未来天气的实际情况（即使自然对天气的选择可以被看作在商人决策前早就作出的）， 而自然在选择天气时当然更不会去管商人作了怎样的决策。因此两个博弈方可以看作是同时决策的。

用扩展形表示则如图 1.10。第一个信息集为博弈方 0，即自然的选择节点。注意这里有一个关键的画法： 虽然自然的选择有两条路径、分别到达两个不同的节点，但博弈方 1 却仍然只作一个选择，而不是针对两个节点分别作选择—— 这就是那个"椭圆"的含义。

用期望值求解

这个博弈如何解？由于问题本身带有外生的不确定因素，最终结果不一定能预先确定。但如果商人按处理不确定性问题常用的数学期望值决策：

• 走水路：得益为 −7 000 的概率 75%，为 −16 000 的概率 25%，期望得益 = (−7 000)×75% + (−16 000)×25% = −9 250；
• 走陆路：得益是确定的 −10 000。

因为 −9 250 > −10 000，即走水路的期望费用 9 250 小于走陆路的 10 000，所以商人还是应该选择走水路。 若多次碰到同样的决策并每次都这样选择，平均每次的运输成本应接近 9 250。

二、两人博弈

两人博弈是两个各自独立决策、但策略和利益具有相互依存关系的博弈方的决策问题，也是最常见、研究得最多的类型。 前面介绍的囚徒的困境、齐威王田忌赛马、猜硬币、石头剪子布，以及经济活动中的竞争、谈判、兼并收购、劳资纠纷等都属于此类。 书里讨论了三个关键特征，其中第二条直接回应了上面的疑问：

三、多人博弈与"破坏者"

三个或三个以上博弈方参加的博弈称为多人博弈。基本性质和特征与两人博弈相似，常可用同样思路研究。 但由于独立决策者更多，策略和利益的相互依存关系更复杂——对三人博弈中的一个博弈方来说， 其他两人不仅会对自己的策略作反应，他们相互之间还有作用和反应。

更重要的是，三人以上博弈有一个与两人博弈本质区别的特点：可能存在所谓的"破坏者"—— 其策略选择对自身的利益并没有影响，却会对其他博弈方的得益产生很大、有时甚至是决定性的影响。

破坏者的存在使得不少多人博弈的结果难以确定，因为破坏者的行为选择很难用给定环境条件下的经济规律和逻辑推理来判断。 因此分析多人博弈时要特别小心，注意是否存在这种破坏者。

表示方法上也有差别：得益矩阵一般只适合表示单人博弈和两人博弈； 少数离散策略的三人博弈还可以用两个或多个得益矩阵合起来表示；多于三个博弈方的多人博弈一般无法用得益矩阵表示， 复杂的多人博弈或非有限策略的博弈通常只能通过文字描述和函数式表达。

三人博弈靠两张表拼出来：先固定第三个人的选择，再看前两个人的 2×2 矩阵。这是把多人博弈"降维"成矩阵表示的唯一办法，也是它的上限。

博弈中各博弈方的决策内容称为策略（Strategies），通常是对行为取舍、经济活动水平等的选择。 给出各博弈方可以选择的全部策略或策略选择的范围（也称策略空间），是定义一个博弈时最重要的基本方面之一。

不同博弈中可选策略的数量差异极大。把前面介绍的模型排一下，这个跨度一目了然：

还要注意：并不是每个博弈的博弈方都有相同的可选策略。书里给了两个例子：

有限博弈与无限博弈

如果一个博弈中每个博弈方的策略数都是有限的，称为有限博弈（Finite Games）；如果至少有某些博弈方的策略有无限多个， 称为无限博弈（Infinite Games）。在有限博弈中，常见的是数种策略，最多是数十种策略，其中两三种可选策略的博弈最为普遍。

得益（Payoffs）即参加博弈的各个博弈方从博弈中所获得的利益，它是各博弈方追求的根本目标， 也是他们行为和判断的主要依据。得益可以是本身就是数量的利润、收入，也可以是量化的效用、社会效益、福利等； 由于人们除了获得正效用以外有时也会得到损失、失败和负效用，因此得益有正有负。

把每个博弈方在同一结果中的得益相加，算出所有博弈方得益的总和，可以看作这些博弈方的"社会总得益"。 据此可以把博弈分成三类：

博弈过程也是博弈结构的重要方面。前面介绍的大多数例子都是一次性同时决策，但社会经济活动中也有许多策略较量是 先后、反复或者重复的。例如寡头削价竞争就完全可能是先后进行的。按过程差异，博弈分为静态博弈、动态博弈和重复博弈几个大类。

一、静态博弈

在很多博弈中，如果决策有先后次序，某些博弈方就能事先知道其他博弈方的决策选择，从而有针对性地调整自己的策略， 使自己立于不败之地。这肯定会造成博弈方之间的不公平、不平等。为了公平，也为了使计谋和决策对抗更有意义，同时也有现实博弈问题的根据， 许多博弈常常要求或设定各博弈方是同时决策的——或者虽然决策时间不一定真正一致，但在他们作出选择之前不允许知道其他博弈方的策略， 在知道其他博弈方的策略之后则不能改变自己的选择，从而各博弈方的选择仍然可以看作是同时作出的。

所有博弈方同时或可看作同时选择策略的博弈称为静态博弈（Static Games）。

二、动态博弈

与静态博弈相对，动态博弈中各博弈方的选择和行动不仅有先后次序，而且后选择、后行动的博弈方在自己选择、行动之前， 可以看到其他博弈方的选择、行动，甚至还包括自己的选择和行动。这种博弈无论在哪种意义上都无法看作同时决策。 动态博弈也称多阶段博弈（Multistage Games）。

弈棋是典型的动态博弈——两个对弈者依次轮流按规则移动棋子。经济活动中的商业大战、各种商业谈判、讨价还价也属于此类。 书里给了一个具体的经济例子：

书里把图 1.12 中的 B 圈和 A 圈称为厂商 B 和厂商 A 的选择信息集，即两博弈方各自轮到选择的位置。 这是一个两博弈方的两阶段动态博弈，是动态博弈中最基本的一种类型。

三、重复博弈

重复博弈（Repeated Games）是同一个博弈反复进行所构成的博弈过程。构成重复博弈的一次性博弈（One-shot Games） 也称为"原博弈"或"阶段博弈"。大多数重复博弈的原博弈都是静态博弈。体育竞技中的多局制比赛、商业中的回头客问题、 企业之间的长期合作或竞争，都可以看作是重复博弈问题。

只要两次重复同一个博弈就可以构成重复博弈，所以最少重复次数是两次。按有无事先确定的重复次数，分成两类：

重复博弈和一次性博弈有明显的差异。一次性博弈中，各博弈方决策时只需考虑眼前利益，不存在"将来"利益的问题， 根据个体理性下的最大利益原则，一般来说不能期望博弈方会相互考虑对方的利益或"情绪"——只要能实现自身最大利益， 每个博弈方都不惜"欺骗""伤害"其他博弈方。

但如果博弈是重复的，各博弈方就可能在前面的阶段试图合作，采取对大家来说都较有利的策略， 因为一旦任何一方发觉他方不合作，可能在以后阶段进行报复。这种未来利益的约束可能使各方的得益都得到改善—— 或者说，重复博弈给博弈提供了实现更有效率博弈结果的新的可能性。重复次数越多，这种可能性越大； 重复次数无穷大时，博弈的结果更可能发生根本性的变化。

书里用一句老话开场："知己知彼，百战不殆。"关于博弈环境和博弈方情况的信息，是影响博弈方选择和博弈结果的重要因素。 但要小心措辞——书里紧接着说："我们不是说缺乏信息就不能决策，也不是说信息越多就有越大的利益，只是说信息方面的差异通常会造成决策行为的差异和博弈结果的不同。"

信息结构分两条轴，这是本节最容易混的地方：

一、关于得益的信息：完全 vs 不完全

这是关于得益的轴。各博弈方都完全了解所有博弈方各种情况下得益的博弈，称为完全信息博弈（Complete Information）； 至少部分博弈方不完全了解其他博弈方得益情况的，称为不完全信息博弈（Incomplete Information）。

不完全信息通常也意味着博弈方之间在对得益信息的了解方面是不对称的，因此不完全信息博弈也是不对称信息博弈 （Asymmetric Information），其中不完全了解其他博弈方得益情况的博弈方称"具有不完全信息的博弈方"。

二、关于博弈过程的信息：完美 vs 不完美

这是关于过程的轴，只对动态博弈有意义。在许多动态博弈中，轮到行为的博弈方全部能看到在他行为之前行为的 各个博弈方的所有行为，即对前面的博弈过程或"历史"有完美的知识——弈棋就是如此，每一步棋都是大家可以看见、一目了然的。

但社会经济活动中也显然存在许多竞争对手、合作伙伴有意无意隐藏自己行为的情况。动态博弈中在轮到行为时 对博弈进程完全了解的博弈方，称为具有完美信息（Perfect Information）；如果所有博弈方都有完美信息， 则称为完美信息的动态博弈。轮到行为时不完全了解此前全部博弈进程的，称为具有不完美信息（Imperfect Information）。

书里指出，没有关于博弈进程的完美信息，意味着决策和行为必然有一定的盲目性， 只能依靠对博弈进程的某种"判断"、某种概率期望进行决策。因此区别完美与不完美信息也是很重要的。

这一节处理一个更根本的问题：博弈方凭什么行为？理性和能力决定了博弈方的行为逻辑， 不搞清基本的行为逻辑，就不可能对他们的策略选择和相互博弈的结果作出准确的判断预测。行为逻辑包括两个方面—— 决策行为的根本目标，以及追求目标的能力。

前面几节事实上接受了经济学中通常采用的理性经济人假设：博弈方都以个体利益最大化为目标，有准确的判断选择能力， 也不会"犯错误"。以个体利益最大为目标称为个体理性（Individual Rationality）；有完美的分析判断能力、 不会犯选择行为的错误称为完全理性。书里紧接着说："但这样的假设肯定是有问题的。"

一、完全理性和有限理性

因为博弈问题通常包含复杂的相互依存关系，博弈分析往往很复杂，所以指望现实的博弈方都能通过博弈分析找到最优策略， 而且不会因为遗忘、失误、任性等原因偏离最佳选择，常常是不切实际的。因此博弈论既要研究完全理性的博弈问题， 也要研究有限理性——即博弈方的判断选择能力有缺陷情况下的博弈问题。

二、个体理性和集体理性

再讨论决策行为的目标问题。理性经济人假设人们以个体自身利益最大化为根本目标，但实际上， 现实中的决策者并不都是根据个体利益最大化决策的，至少在局部问题上存在以集体（团体）利益为目标、 追求集体利益最大化的情况。追求集体利益最大化称为集体理性（Collective Rationality）。

一般情况下，集体利益最大化本身不是博弈方的根本目标——人们在经济博弈中的行为准则是个体理性而不是集体理性。 但如果允许博弈中存在"有约束力的协议"（Binding Agreement），使得博弈方采取符合集体利益最大化而不符合个体利益最大化的行为时， 能够得到有效的补偿，那么个体利益和集体利益之间的矛盾就可以被克服，从而使博弈方按照集体理性决策和行为成为可能。

本书主要介绍非合作博弈理论，只有第九章对合作博弈理论作初步介绍。书里给了三条理由说明非合作博弈为什么更受重视：

1. 更普遍。主导人们行为方式的主要还是个体理性而不是集体理性；或者换句话说，竞争是一切社会、经济关系的根本基础， 不合作是基本的，合作是有条件和暂时的，因此非合作博弈关系比合作博弈关系更普遍。
2. 是合作理论的基础。搞清了非合作的博弈关系，合作的博弈关系就比较容易理解；在证明非合作博弈无效率或低效率的同时， 就自然说明了存在着合作的可能性和必要性。
3. 更难，所以更不成熟。集体理性是更高级和更复杂的理性，因此研究合作博弈的难度更大， 更难找到分析的一般概念和系统方法。合作博弈和非合作博弈理论发展速度的差异（目前非合作博弈理论比合作博弈理论成熟得多）证实了这种难度差别。

联系前面的记录：1.2.1 节里那句"即使两寡头都完全清楚利害关系也无法改变结局"， 根源正是这里——不允许存在有约束力的协议，所以那个困境是非合作博弈的困境。

把前面对博弈结构的分析汇总起来，就得到博弈问题的分类法。博弈结构每个方面的特征都可以作为分类依据：

书里提醒：各种分类相互之间都是交叉的，并不存在严格的层次关系。但可以根据各种分类对博弈分析方法影响程度的大小， 排出大致的次序——这个次序就是本书的结构：

此外，上述各类博弈还都可以分为零和博弈和非零和博弈、单人博弈和多人博弈等。对这些类型差别不再分章讨论， 只是在各章的分析中加以考虑。

把六个维度、各自的类型和判定标准浓缩成一张表。考前遮住右两列自测：

分类的层次（全书结构）

第四层那三格是新兴的信息经济学的重要基础——这是本章埋下的最重要的一句伏笔。

本节要记的术语很多，但真正容易在考试里写反的只有四组。逐一对照：

四种方法不是并列的，而是一条适用面不断放宽的链条。每往下一步，都因为上一步"管不了"才被逼出来：

先从最简单的情况开始。如果不管其他博弈方选择什么策略，一个博弈方的某个策略给他带来的得益始终高于其他策略，至少不低于其他策略， 那么这个策略必然是他愿意选择的。第一章里囚徒困境中的"坦白"就是这样的策略。

上策均衡是博弈分析中最基本的均衡概念，其分析也是最基本的方法。它的价值在于：反映了所有博弈方的绝对偏好，因此非常稳定， 可以对博弈结果作出最肯定的预测。所以进行博弈分析时，应该首先判断各个博弈方是否都有上策、博弈中是否存在上策均衡—— 如果能找到一个上策均衡，就意味着博弈分析有了明确的结果，任务基本上完成了。

一、思路和原理：选择法 vs 排除法

上策均衡分析的思路是选择法——在所有可选择的策略中挑出最好的那一个。但选择只是决策思路中的一种。 另一种同样常用的是排除法：通过把不可能采用的较差策略排除掉，从而筛选出较好的策略，或至少缩小候选范围。 排除法的思路就导出了严格下策反复消去法。

仍然以囚徒的困境为例。不管对方策略如何，两个囚徒各自两种策略中的"坦白"都比"不坦白"来得好。 这时称"不坦白"是相对于"坦白"的严格下策（Strictly Dominated Strategy）。

很显然，任何理性的博弈方都不可能采用严格下策。因此可以把它从策略空间中排除掉。 囚徒困境中消去双方的"不坦白"之后，各自只剩"坦白"，于是双方都坦白成为必然选择，各判 5 年。 这里的结果与上策均衡分析完全相同。

值得注意的是，这种消去既可以在同一个博弈方的策略空间中反复运用，也可以在各个博弈方的策略空间上交叉运用—— 只要各博弈方剩余的策略空间中还有严格下策，就可以继续消去，直到找不出任何严格下策为止。

二、应用：图 2.1 这个例子

看下面这个抽象掉了现实问题内容的、两个博弈方分别有三种和两种策略的不对称博弈问题：

先判断上策：博弈方 1 的"上""下"之间没有始终占优的一方，博弈方 2 的"左""中""右"之间也没有。所以本博弈不存在上策均衡， 上策均衡分析在这里没有用武之地。改用严格下策反复消去法，逐步走三步：

1. 消去博弈方 2 的"右"。不管博弈方 1 选"上"还是"下"，博弈方 2 选"右"的得益（1 和 0）都小于选"中"的得益（3 和 2）， 所以"右"是相对于"中"的严格下策。消去后博弈简化为图 2.2。
2. 消去博弈方 1 的"下"。在剩下的四种组合里，"下"的得益（0 和 0）都小于"上"的得益（1 和 1）， 所以"下"是相对于"上"的严格下策。消去后得到图 2.3。
3. 消去博弈方 2 的"左"。只剩两个组合时，"左"的得益 0 小于"中"的得益 3，可以消去。 原来的博弈被精简到只剩唯一一个策略组合（上，中）。

因为所有被消去的策略都是两博弈方不可能采用的，所以最终的选择只能是唯一剩下的（上，中），它就是博弈的"解"。 注意：（上，中）并不是原博弈的上策均衡——事实上原博弈根本没有上策均衡。这就说明严格下策反复消去法的适用范围确实比上策均衡分析更大。

前两种方法都有局限，所以必须寻找更普遍适用的方法。方向其实已经被上面的分析提示了： 适用性较强的方法，必然以策略之间的"相对优劣关系"而不是"绝对优劣关系"为基础。顺着这个思路就得到划线法。

博弈方决策时必须考虑其他博弈方的存在和策略选择，因此科学的决策思路是：先找出自己针对其他博弈方每种策略（或策略组合）的最佳对策 ——即给自己带来最大得益的策略（这种相对最佳对策总是存在的，不过不一定唯一）——然后在此基础上， 通过对其他博弈方策略选择的判断，预测博弈的可能结果并确定自己的最优策略。

怎么划

在图 2.1 的矩阵里，对每个博弈方的每个策略，找出对手相应策略下的最佳对策，把该得益数字下面划一短线：

• 博弈方 1：对方选"左"时"上"更好（1 > 0），选"中"时"上"更好（1 > 0），选"右"时"下"更好（2 > 0） → 划 上左的 1、上中的 1、下右的 2。
• 博弈方 2：对方选"上"时"中"最好（3 > 0、3 > 1），选"下"时"左"最好（4 > 2、4 > 0） → 划 上中的 3、下左的 4。

六个得益数组里各有几种情况，读法正是划线法的全部内容：

通过在每个博弈方对其他博弈方每个策略的最佳对策所对应的得益下划线来分析博弈，这种方法称为划线法。 它是建立在策略之间相对优劣关系上的，因此在分析用得益矩阵表示的博弈问题时具有普遍适用性。

四种典型情形

划线法能得出三种不同的结论，加上"划了也白划"的情形，正好覆盖第一章的四个博弈：

关于"夫妻之争"这个经典模型

夫妻之争（Battle of Sexes）的设定是：一对夫妻得到两张时装表演票和同一时间的两张足球票。妻子更想去看时装、丈夫更想去看足球， 但不愿或不能分头行动，于是决定投票一次决定——同选时装则看时装，同选足球则看足球，选择不一致则哪儿都不去（双方得益都是 0）。

书里特意说明，讨论这个模型的意义主要不是解决夫妻矛盾。日常生活中与它相似的问题很多：两个人从不同地点出发而希望中途会合， 若存在两条不同路线，他们对路线的选择就与夫妻之争很相似；这个问题甚至可以推广到人类与可能存在的外星生物相互联络的尝试中， 对联系方式（介质、频率等）的选择上；企业之间在关联产品技术和规格等方面的合作也有类似特征。

还有一种分析思路与划线法不同、但效果相同的方法。箭头法的基本思路是：对每个策略组合，考察各个博弈方能否通过单独改变自己的策略而增加得益。 如果能，就从所分析的得益数组引一箭头，指向改变策略后到达的得益数组。综合所有策略组合的分析，就形成对博弈结果的判断。

用囚徒的困境走一遍

可以从四个组合中的任一个开始分析，不妨从（不坦白，不坦白）开始：

1. （不坦白，不坦白）得（−1, −1）。两人都发觉单独改变策略能增加得益（从 −1 提高到 0）， 于是囚徒 1 会改选坦白（→ 变到（坦白，不坦白）），囚徒 2 也会改选坦白（→ 变到（不坦白，坦白））。两个出发箭头，不稳定。
2. （坦白，不坦白）得（0, −8）。囚徒 1 满意，但囚徒 2 会改选坦白，把得益从 −8 提高到 −5 → 指向（坦白，坦白）。
3. （不坦白，坦白）得（−8, 0）。对称地，囚徒 1 会改选坦白 → 也指向（坦白，坦白）。
4. （坦白，坦白）得（−5, −5）。无论谁单独改变策略都不合算（得益会从 −5 降为 −8）， 因此没有任何指离它的箭头，只有指向它的箭头。这就是唯一稳定的组合。

表格里画不了真正的箭头，所以把"想离开这一格"记成格子内的小方向符号： ↑↓ 是行方想改选上/下，←→ 是列方想改选左/右。例如（不坦白，不坦白）标着 ↑←， 意思是两方都想走；而（坦白，坦白）里是空的——没人想动，这就是稳定组合。

另外三个博弈

把箭头法用到图 2.1、猜硬币和夫妻之争上，结论与划线法完全一致：

三小节，回答三个层层递进的问题：它是什么、它凭什么值得苦苦去找、它和上一节那些方法什么关系。

用划线法或箭头法找出的那些"具有稳定性的策略组合"，不管是否唯一，都有一个共同特性： 其中每个博弈方的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合的最佳对策。在两人博弈的情况下就是： "给定你的策略，我的策略是我最好的策略；给定我的策略，你的策略也是你最好的策略。" 具有这种性质的策略组合，正是非合作博弈理论中最重要的解概念 —— 纳什均衡。

先建立一套一般表示法

为了给出较正式的定义，先约定记号。这套记号后面每一章都会用到：

G = 一个博弈 · n = 博弈方个数 · S_i = 博弈方 i 的策略空间（他全部可选策略的集合）· s_i^j ∈ S_i = 博弈方 i 的第 j 个策略（j 可取有限个值即有限策略博弈，也可取无限个值即无限策略博弈）· u_i = 博弈方 i 的得益，是各博弈方策略的多元函数

有了这套记号，纳什均衡的定义可以写成一个不等式：

记号 s_−i 读作"除 i 以外所有博弈方的策略组合"。这个缩写的用处在于： 把"其他人不动"这件事压成一个符号，于是纳什均衡就可以干脆地说成 "给定 s_−i，s_i* 是我能选的最好的"——对每个人、同时成立。

拿前面几个博弈对号入座

在介绍更多求纳什均衡的方法之前，必须先说明一件事：为什么值得花力气去找它？ 纳什均衡的价值主要在于它有一些非常重要的性质，其中最重要的之一就是一致预测性。

这里"一致"的意义需要特别留意：它指的是各博弈方的实际行为选择与他们的预测一致， 而不是不同博弈方的预测彼此相同、没有差异。这一点书里专门强调过，很容易读反。

为什么这个性质这么重要

关键在于：一个博弈方在博弈中所作预测的内容包括他自己的选择。因此博弈方有可能会利用预测改变自己的选择 —— 这是一个自我指涉的圈套。具有一致预测性质的分析概念能避免这样的矛盾，从而是稳定的、自我强制的（Self-enforcing）， 相应的选择也才是真正可预测的。

不具有一致预测性质的概念，则在分析和预测博弈结果时难以避免预测和行为之间的矛盾， 因此是不稳定的，甚至是自我否定的，作用和价值必然很有限。

两条方向的证明

书里给出一个简单证明，说明纳什均衡具有一致预测的性质，而且只有纳什均衡才有这种性质：

反过来说更直观：如果所有博弈方都是理性的，那么当他们预测到结果将是某个非纳什均衡策略组合时， 一定至少有一个博弈方想改变自己的策略，因此该预测绝不可能是一致预测。于是纳什均衡与一致预测之间是密切联系、不可分割的。

但一致预测性不是万能保证

书里紧接着作了三点限定，这几点决定了纳什均衡分析的边界：

• 一致预测性本身并不保证各博弈方的预测是相同的。相同的预测是一致预测性质的前提而不是结果。
• 有些博弈不存在纳什均衡，根本无法准确预测。
• 另一些博弈有多重纳什均衡，且相互无显著的优劣或效率差别 —— 同样无法预测（这是 2.6 节的主题）。
• 此外还存在博弈方的理性、能力等与假设不符的情况。

这一小节回答一个实用问题：第一节那些方法和纳什均衡相容吗？能不能先用严格下策反复消去法把博弈简化了， 再去求纳什均衡？—— 答案是可以，而这两个命题就是保证。

两个命题的证明都用反证法。命题 2.2 的证明更简单，书里先证它：

1. 假设有某一纳什均衡策略组合在消去过程中被消去。设博弈方 i 的策略 s_i* 是该组合中第一个被消去的策略 （也许是在其他某些策略被消去以后）。
2. 那么必然存在博弈方 i 的某个策略 s_i′，它在 s_i* 被消去时还没有被消去， 并且是相对于 s_i* 的严格上策，即
   u_i( s₁*, … , s_i−1*, s_i′, s_i+1*, … , s_n* ) > u_i( s₁*, … , s_i−1*, s_i*, s_i+1*, … , s_n* )　(2.2)
   对任意由其他博弈方此时尚未消去的所有策略构成的组合都成立。
3. 由于 s_i* 被假设为该均衡组合中第一个被消去的，因此其他博弈方的策略 s₁*,…,s_i−1*, s_i+1*,…,s_n* 在 s_i* 被消去时都还没有被消去 —— 所以 (2.2) 必须对它们成立。
4. 但 (2.2) 表明 s_i* 不是博弈方 i 对其他博弈方策略组合的最佳对策， 这显然与（s₁*,…,s_n*）是纳什均衡的假设矛盾。假设不成立，命题 2.2 得证。

证明了命题 2.2，命题 2.1 的后半部分（唯一性）也随之成立：既然消去的所有策略都不可能是构成纳什均衡的， 那么只要能证明未消去的最后一个策略组合确实是纳什均衡，唯一性就由命题 2.2 保证了。命题 2.1 的证明思路相同， 只是要多走一步 —— 若最后剩下的组合不是纳什均衡，则存在某个更优的策略 s_i′， 而这个 s_i′ 既然已被消去，它在某个阶段就必然被某个当时未消去的策略严格优于； 沿着这条链一直推下去，最终必然走到 s_i* 本身，从而与假设矛盾。

读法：每个人、在别人都不动的前提下、都选了自己能选的最好的那个。一句话概括——没有谁想单独偏离。

一条方法主线（古诺 → 反应函数 → 推广），加三个应用（伯特兰德、公共资源、局限）。

第一章介绍过连续产量的古诺模型，这里用两厂商版本正式求它的纳什均衡 —— 这是无限策略博弈的典型例子。

模型设定

市场上有 1、2 两家厂商生产同样的产品。厂商 1 的产量为 q₁，厂商 2 的产量为 q₂，市场总产量 Q = q₁ + q₂。市场出清价格是总产量的函数：

两厂商生产都无固定成本，且每增加一单位产量的边际成本相等，c₁ = c₂ = 2 —— 即各自生产 q₁ 和 q₂ 单位产量的总成本分别为 2q₁ 和 2q₂。 最后强调两厂商同时决定各自的产量。

博弈方就是两家厂商，策略空间是他们可以选择的产量。因为假设产量连续可分，两厂商都有无限多种可选策略 —— 即使受生产能力限制产量有上限，仍然是无限的。得益是各自的利润，即销售收益减成本：

容易看出，两博弈方的得益都取决于双方的策略（产量）。虽然无法用得益矩阵表示该博弈，但纳什均衡的概念仍然适用： 只要策略组合（q₁*, q₂*）满足其中的 q₁* 和 q₂* 相互是对对方的最佳对策，就构成一个纳什均衡。

直接按定义求

两个式子都是各自变量的二次式，且二次项系数都小于 0，所以只要令两式各自对 q₁、q₂ 的导数为 0， 就一定能实现最大值：

解之得唯一一组解 q₁* = q₂* = 2。所以策略组合（2, 2）是本博弈唯一的纳什均衡，也是博弈的结果。 此时：

如果把"遵守限额"还是"突破限额"作为厂商面临的选择，就得到下面这张得益矩阵。它的结构正是囚徒的困境：

我国也有许多古诺模型的例子。书里举的是"前一阶段我国钢铁企业竞相突破政府制订的产量限额的竞争"， 认为它也是类似的博弈规律在起作用。更一般地，古诺模型可以是包括 n 个寡头的产量决策，价格函数也可以更复杂、 成本也可以不同 —— 分析思路完全相同，只是纳什均衡变成 n 个偏微分为 0 的联立方程组的解。

古诺模型的纳什均衡也可以通过对划线法思路的推广来求。划线法先找每个博弈方针对对方所有策略的最佳对策， 再找相互构成最佳对策的组合。在无限策略的博弈中这个思路照样可行 —— 只是对方的策略现在有无限多种， 因此最佳对策也有无限种，它们之间往往构成一种连续函数关系。

对厂商 2 的任意产量 q₂，厂商 1 的最佳对策产量 q₁ 就是使自己在厂商 2 生产 q₂ 的情况下利润最大化的产量。 令 u₁ 对 q₁ 的导数等于 0，不难求出：

这样我们得到了对于厂商 2 的每一个可能产量、厂商 1 的最佳对策产量的计算公式。它是厂商 2 产量的一个连续函数， 称为厂商 1 对厂商 2 产量的一个反应函数（Reaction Function）。同样方法可求出厂商 2 的反应函数：

两个反应函数都是连续的线性函数，因此可以用坐标平面上的两条直线表示：

从图中可以读出三件事：

• 当一方的产量选择为 0 时，另一方的最佳反应为 3。这正是实现市场总利益最大的产量 —— 因为这时候等于由一个厂商垄断市场，市场总体利益就是该厂商的利益。
• 当一方的产量达到 6 时，另一方被迫选择 0，因为这时候坚持生产已经无利可图。
• 在两条直线上，只有交点（2, 2）代表的产量组合才是由相互对对方的最佳反应产量构成的： R₁(q₂) 上的其他所有点只有 q₁ 是对 q₂ 的最佳反应、q₂ 不是对 q₁ 的最佳反应； R₂(q₁) 上的点则刚好相反。

根据纳什均衡的定义，（2, 2）是该古诺模型的纳什均衡；并且因为它是唯一的一个，因此应该是该博弈的结果 —— 与前面直接根据定义得到的完全一样。

把反应函数法用到伯特兰德（Bertrand）模型上。伯特兰德 1883 年提出了另一种形式的寡占模型， 它与古诺模型的差别在于：各厂商所选择的是价格而不是产量。

这里分析简单的两寡头、且产品有一定差别的伯特兰德价格博弈。所谓有一定差别，是指两厂商生产同类产品， 但在品牌、质量和包装等方面有所不同 —— 因此产品之间有很强的替代性，但又不是完全可替代， 即价格不同时价格较高的不会完全销不出去。两厂商价格分别为 P₁ 和 P₂ 时，需求函数为：

其中 d₁, d₂ > 0 即两厂商产品的替代系数。也假设两厂商无固定成本，边际生产成本分别为 c₁ 和 c₂，仍同时决策。

策略空间为 S₁ = [0, P₁^max] 和 S₂ = [0, P₂^max]， 其中 P_i^max 是厂商 i 还能卖出产品的最高价格。得益是各自的利润：

同样利用偏导数为 0 时有最大值，可求出两厂商对对方策略（价格）的反应函数，而纳什均衡 （P₁*, P₂*）必是两反应函数的交点 —— 解方程组即可求得，它是该博弈唯一的纳什均衡。

更一般的情况是有 n 个寡头的价格决策，产品也可以是无差别的。对产品无差别的情况， 必须考虑消费者对价格的敏感性问题 —— 因为如果所有消费者对价格都非常敏感， 则生产完全同质商品的厂商之间的价格差别根本不可能存在，此时价格高的一方将完全卖不出去。 多于两寡头的分析则是两寡头模型的简单推广：求出每个厂商对其他各个厂商价格的反应函数，再解出它们的交点即可。

在经济学中，公共资源是指具有这样两个特征的自然资源、或人类生产的供大众免费使用的设施和财货： （1）没有哪个个人、企业或组织拥有所有权；（2）大家都可以自由利用。 例如大家都可以开采使用的地下水、可自由放牧的草地、可自由排放废水的公共河道（假设政府未予限制），以及公共道路、楼道的照明灯等。

由于这两个特征，利用这些资源时不支付任何代价。而一旦政府将这些资源收归国有并对使用者征收资源税或类似费用， 这些资源也就不再是上述经济学意义上的公共资源，而更应该称为国有资源了。

书里指出：最晚从休谟（David Hume）1739 年开始，政治经济学者们就已经认识到， 在人们完全从自利动机出发自由利用公共资源时，公共资源倾向于被过度利用、低效率使用和浪费， 并且过度利用会达到任何利用它们的人都无法得到实际好处的程度。下面用公共草地的放牧问题来论证这个结论。

模型设定

某村庄有 n 个农户，村里有一片大家可以自由放牧羊群的公共草地。草地面积有限，只能让不超过某一数量的羊吃饱； 超过这个限度则每只羊都无法吃饱，每只羊的产出就会减少。各农户在春天决定养羊数量， 因此在决定自己的养羊数时不知道其他农户养羊数 —— 决策是同时作出的。再假设所有农户都清楚这片草地最多能养多少羊、 以及羊只总数不同水平下每只羊的产出。这就构成了 n 个农户关于养羊数的静态博弈。

博弈方是 n 个农户；策略空间是他们可能选择的养羊数目 q_i； 总放牧量 Q = q₁ + … + q_n；每只羊的产出是总数的减函数 V = V(Q)。设购买和照料每只羊的成本对每个农户都是相同的不变常数 c，则：

为进一步得到直观结论，设定具体数值：n = 3（只有三个农户），每只羊的产出函数 V = 100 − Q = 100 − (q₁+q₂+q₃)，成本 c = 4。三家农户的得益函数分别为：

羊的数量本不是连续可分的，但技术上可以把羊的数量看作连续可分的，因此上述得益函数仍然可当作连续函数处理。 求三家各自对其他两家策略的反应函数，三个反应函数的交点就是纳什均衡。代入并解联立方程组，得：

再算一次"总体最优"

为了对公共资源的利用效率作出评价，同样可以讨论总体利益最大时的最佳羊只数量。 设草地上羊只总数为 Q，则总得益为：

使总得益最大的养羊数 Q* 必使导数 96 − 2Q* = 0，解得 Q* = 48，代入得 u* = 2304。把这个结果与纳什均衡对比：

也就是说：三家独立决策时实际上使草地处于过度放牧的情况，浪费了资源，农户也没有获得最好的效益。 如果各农户能自觉把养羊数限制在 48/3 = 16 只，他们都能得到更多利益 —— 但他们面临的是一种囚徒的困境局面，因此很难实现这种理想的合作结果。

为什么会这样

书里把原因说得非常清楚，值得逐句读：在公共资源利用方面常会出现这样的悲剧，原因是 每个可以利用公共资源的人都相当于面临着一种囚徒的困境：

• 在总体上有加大利用资源的可能（至少加大利用者自身还能增加得益）时， 自己加大利用而他人不加大利用则自己得利；
• 自己加大利用但其他人也加大利用则自己不至于吃亏；
• 最终是所有人都加大利用资源，直至再加大只会减少利益的纳什均衡水平 —— 而这个水平肯定比实现资源最佳利用效率、同时也是个人最佳效率的水平要高。

书里由这些结果得出结论：在公共资源的利用、公共设施的提供方面， 政府的组织、协调和制约是非常必要的，这也可以说是政府之所以有必要存在的主要理由之一。

反应函数法概念和思路非常简洁明了，它解决了分析一般的具有无限多种策略、有连续策略空间的博弈模型， 或者有离散的大量策略、可以看作有连续策略空间的博弈模型（如公共草地养羊数博弈）的问题。因此它在博弈分析中非常有用。

但书里随即指出，这并不等于有了反应函数概念就能解决所有博弈的分析。有两层局限：

图 2.15 用两种情形说明了第二个问题：（a）图是反应函数不相交的情况，（b）图则是交点不唯一的情况。

书里点明：虽然这些图形本身是虚构的，但具有这样特点的反应函数是完全可能存在的—— 事实上后面把反应函数扩展到混合策略时，就很容易出现多重交点反应函数的图形（这正是 2.4.4 节的内容， 也是夫妻之争在反应函数图上出现三个交点的原因）。

反应函数法的三步：① 写出得益函数 → ② 对自家策略求偏导并令其为 0，解出反应函数 → ③ 解各反应函数的交点。 交点即纳什均衡。它成立的前提是得益函数连续可导，且交点存在且唯一。

四个小节，从"为什么要随机"一路走到"如何用反应函数求随机化的概率"。

一、猜硬币：随机不是"随便"

猜硬币博弈在"正面""反面"两种策略的意义上不存在纳什均衡 —— 无论采用哪个组合，输的一方总可以通过单独改变策略而反输为赢。 那么这个博弈中各方选什么都一样、可以随意选吗？答案是否定的。事实上策略选择的好坏对得益仍有很大影响。

由此引出此博弈中决策的第一个原则：自己的策略选择不能预先被另一方知道或猜测到。 保持秘密、不让其他博弈方事先了解你的选择，是该博弈中各博弈方首先必须遵循的原则 —— 这正是没有纳什均衡的博弈与存在唯一纳什均衡的博弈之间的一个重要的本质区别。

从这条原则再推论下去：在该博弈的多次重复中，博弈方一定要避免自己的选择带有规律性。 一旦选择有某种规律并被对手发觉，对手就能据此预先猜到你的选择，从而作针对性选择轻易战胜你。 例如你总是一次正面、一次反面轮流出，对手就能根据你前一次的策略轻易猜中你本次将出的面。

更细一层：即使盖硬币方已经随机选择了，但总体上出正面的概率大于出反面（即 p > 1/2）， 那么猜硬币方仍然有机可乘 —— 他只要全猜正面，平均来讲就一定赢多输少。反之如果 p < 1/2，他就全猜反面。 因此对盖硬币方来说最可靠的方法是以相同的概率随机出正面和反面，即取 p = 1 − p = 1/2。 同样的讨论适用于猜硬币方 —— 他也必须以 1/2 的相同概率随机选择，否则就会给对方获利的机会。

二、混合策略与混合策略纳什均衡

当双方都以 1/2 的概率随机选择时，双方都无法根据对方的选择方式调整自己获得利益， 从而在"对两种可选策略随机选择概率分布"的意义上达到了一种稳定，或者说均衡。这种决策方式称为混合策略：

与此相对，博弈中原来意义上的策略称为纯策略（Pure Strategies）。两者关系值得记住：

• 纯策略可以看作混合策略——即选择相应纯策略的概率为 1、选择其余纯策略的概率为 0 的混合策略；
• 反过来，混合策略又可以看作纯策略的扩展。给每个博弈方的纯策略空间赋予不同的概率分布，就形成不同的混合策略；
• 因为概率分布是连续的、可以取无限多组值，所以混合策略的数量肯定是无限多的。

当把博弈方在这个混合策略空间中的选择看作一个博弈时，原博弈的混合策略就成了后面这个扩展出来的博弈的纯策略。 扩展出来的博弈可称为原博弈的"混合策略扩展博弈"，它与原博弈在形式上有很大差别，但本质其实是一样的。

于是纳什均衡的基础扩大了：把策略扩展到包括混合策略时，纳什均衡概念仍然成立，本质规定性也仍然相同 —— 如果一个策略组合满足各博弈方的策略相互是对其他博弈方策略的最佳对策，就是一个纳什均衡， 只不过其中的策略既可能是纯策略也可能是混合策略。这时纳什均衡意味着：任何博弈方单独改变自己的策略， 或者随机选择各个纯策略的概率分布，都不能给自己增加任何利益。如果确实是一个严格意义上的混合策略组合构成纳什均衡， 则称为一个混合策略纳什均衡。

据此，猜硬币博弈中双方都以（1/2, 1/2）随机选择的组合就是一个混合策略纳什均衡，而且是该博弈唯一的混合策略纳什均衡。 因为这个博弈没有纯策略纳什均衡，因此它也是该博弈唯一的纳什均衡；采用它，是两博弈方唯一正确的选择。

三、一个数值例子

用下面这个博弈练习这套算法。它不存在纯策略纳什均衡（任何一个纯策略组合都有博弈方可以单独改变策略而得到更好得益）：

设博弈方 1 选 A 的概率为 p_A、选 B 的为 p_B。 根据"让对方无机可乘"的原则，这两个概率必须使博弈方 2 选 C 和选 D 的期望得益相等：

又因 p_A + p_B = 1，因此 p_A = 0.8，p_B = 0.2。 同理，博弈方 2 选 C 和 D 的概率也应使博弈方 1 选 A 的期望得益等于选 B 的：

当博弈方 1 以（0.8, 0.2）随机选择 A 和 B、博弈方 2 以（0.8, 0.2）随机选择 C 和 D 时， 谁都无法通过单独改变随机选择的概率分布改善自己的期望得益，因此这个混合策略组合是稳定的 —— 本博弈唯一的混合策略纳什均衡。 此时双方期望得益为：

四、齐威王田忌赛马：1/6 是怎么来的

第一章里说齐威王和田忌"应以相同的概率选用"六种出场次序，现在可以把那个结论算出来。 这个博弈的得益矩阵与第一章的图 1.3 完全相同（见 1.2.2 节）：36 个格子中，每一行只有一个 3、四个 1、一个 −1。

为了简便，把齐威王的六个策略从上到下称为 a–f，田忌的六个策略从左到右称为 g–l。 设齐威王分别以概率 p_a…p_f 随机选择， 则田忌采用 g 的期望得益为 −3p_a − p_b − p_c + p_d − p_e − p_f， 采用 h 的期望得益为 −p_a − 3p_b + p_c − p_d − p_e − p_f，依此类推。

齐威王若想让田忌没有任何可乘之机，所选概率分布必须使这六个期望得益都相等。解之得 p_a = p_b = p_c = p_d = p_e = p_f， 又因它们之和为 1，所以每个都是 1/6。同样的推导对田忌也成立。于是双方都以 1/6 的相同概率随机选择各自的六个纯策略， 构成本博弈唯一的混合策略纳什均衡。

五、小偷和守卫：图解与"激励的悖论"

这个例子来自 1994 年诺贝尔经济学奖得主之一塞尔顿（Selten）教授 1996 年 3 月在上海的一次演讲。

设定：一小偷欲偷窃有一守卫看守的仓库。如果偷窃时守卫在睡觉，则小偷得手，偷得价值为 V 的赃物； 如果守卫没睡，则小偷被抓。设小偷被抓后要坐牢，负效用为 −P；守卫睡觉而未遭偷窃有 S 的正效用， 因睡觉被窃要被解雇，其负效用为 −D；小偷不偷则既无得也无失，守卫不睡意味着出一份力挣一份钱，他也没有得失。

这个博弈不存在纯策略纳什均衡。书里用了一段很生动的因果循环来说明：

它与猜硬币的本质特征相同，因此决策原则也相同：不能让对方预先知道或猜到策略，应以随机方式选择， 且概率不能让对方有可乘之机。不过书里在这里改用图解方法 —— 因为图解对理解混合策略中概率分布的意义有特殊价值。 先用图 2.20 确定小偷"偷"的概率：横轴是 p_t（小偷选"偷"的概率）， 纵轴是守卫选择"睡"的期望得益。从 S 到 −D 的连线给出每个 p_t 下守卫"睡"的期望得益 S(1−p_t) + (−D)p_t。

为什么交点就是最佳水平？书里的推理值得逐句读：假设小偷的"偷"概率大于 p_t*， 此时守卫"睡"的期望得益小于 0，因此他肯定百分之百选择"不睡"，从而小偷偷一次被抓一次有赔无赚 —— 所以大于 p_t* 的"偷"概率对 thief 是不可取的。反过来，如果"偷"的概率小于 p_t*， 则守卫"睡"的期望得益大于 0，守卫天天睡大觉是合算的；此时即使小偷提高一些作案频率，只要不大于 p_t*， 守卫都会选择"睡"，小偷不用害怕被抓，而"偷"得越多收获越大 —— 因此他会使"偷"的概率趋向于 p_t*。

均衡点上，守卫"睡"与"不睡"的期望得益都等于 0，选哪个纯策略或混合策略的期望得益都相同。 不过为了让小偷也没有可乘之机，守卫也必须选择特定概率分布的混合策略（图 2.21）。

混合策略不只是为"没有纯策略均衡"的博弈准备的。在有多个纯策略纳什均衡的博弈中它同样重要 —— 因为多个均衡之间往往没有优劣关系，混合策略至少给出了一个确定的期望结果。

一、夫妻之争的混合策略纳什均衡

夫妻之争（图 2.22）有两个纳什均衡（时装，时装）和（足球，足球）。它与严格竞争博弈明显不同： 如果一方知道另一方已选择了某种策略，则前者唯一明智的选择就是与对方保持一致，以免得最差的得益 0。 这就是这个博弈中两博弈方的利益一致性所在 —— 换句话说，本博弈的两个博弈方都不会害怕对方猜到自己的选择， 他们主观上并不想隐藏自己的选择。因此决策思路和原则应该与严格竞争博弈不同。

但由于两个均衡分别对夫妻中不同的一方有利（妻子偏好前一个、丈夫偏好后一个）， 当两人各自从自身最大利益出发独立同时决策时，无法肯定究竟会做怎样的选择。 也就是说，在纯策略范围内该博弈也无法对选择提出确定性建议。因此需要考虑混合策略：

此时双方都无法通过单独改变概率分布提高利益，构成一个混合策略纳什均衡。它给双方带来的期望得益为 妻子 0.67、丈夫 0.75（书里的演算：妻子 = 3/4×1/3×2 + 1/4×2/3×1 ≈ 0.67；丈夫 = 3/4×1/3×1 + 1/4×2/3×3 = 0.75）。

二、制式问题

经济活动中有许多与夫妻之争相似的博弈，制式问题就是典型一例。电器和电子设备往往有不同的原理或相关技术标准， 称为不同的制式。如果厂商采用相同的制式，产品之间就能相互匹配、零配件也可能相互通用，这对推广产品和合作很有帮助。

假设两个厂商同时计划引进彩电生产线，彩电有 A、B 两种不同制式。设两厂商同时采用 A 制式时厂商 1 有 1 单位好处、厂商 2 有 3 单位好处； 同时采用 B 制式时两厂商都有 2 单位好处；制式不同时大家都没有好处：

它有两个纯策略纳什均衡（A,A）和（B,B）。厂商 1 更喜欢后一个、厂商 2 更喜欢前一个，因此究竟哪个会出现没有必然结论 —— 又是一个混合策略问题。用与夫妻之争同样的方法解出：厂商 1 以概率分布（0.4, 0.6）随机选择 A 和 B， 厂商 2 以（0.67, 0.33）随机选择 A 和 B。

书里对这个结果本身的评论不受影响：两博弈方采取不相互协商、各自独立选择制式的方法也是不理想的。 因为如果他们通过协商共同决定采用两个纯策略纳什均衡中的任意一个，双方的得益都比混合策略的期望得益更高 （(A,A) 下为 1 和 3，(B,B) 下为 2 和 2，都优于 0.664 和 1.2 中的至少一方）。 这个博弈从一个侧面证明了：在引进技术、投资、开发产品等问题中，不同厂商各自为政的行为方式常常会导致低效率。

三、市场机会博弈

另一种有两个纳什均衡博弈的典型代表。现实背景是：两厂商同时发现一个市场机会，但市场容量并不大 —— 如果只有一个厂商进入能赚到 100 单位利润，但如果两厂商同时进入，则不仅赚不到钱，而且要各亏损 50 单位。

用划线法或箭头法很容易证明（进，不进）和（不进，进）两个纯策略纳什均衡， 但前者对厂商 1 有利、后者对厂商 2 有利。显然两厂商都既不希望让对方独占市场，也不希望两败俱伤， 因此混合策略也是一种值得考虑的思路。

设厂商 1 选择进与不进的概率分别为 p₁(进) 和 p₁(不)。厂商 1 的混合策略必须使厂商 2 选进与不进的期望得益相同：

解得 p₁(进) = 2p₁(不)，配合和为 1 得 p₁(进) = 2/3，p₁(不) = 1/3。 因为厂商 2 与厂商 1 的情况完全对称，因此厂商 2 的混合策略概率也是 2/3 和 1/3。 双方各以（2/3, 1/3）选择进与不进，正是本博弈的一个混合策略纳什均衡 —— 此时两厂商的期望得益都是 0。

把策略从纯策略扩展到混合策略之后，关于严格下策反复消去法的结论仍然成立：

• ① 任何博弈方都不会采用任何严格下策，不管它们是纯策略还是混合策略；
• ② 严格下策反复消去法不会消去任何纳什均衡，包括纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡；
• ③ 如果经过反复消去后留下的策略组合是唯一的，那么一定是纳什均衡。

因此，考虑混合策略的情况下我们仍然可以利用严格下策反复消去法进行分析。而且实际上， 引进混合策略只有使严格下策反复消去法的用处更大 —— 因为有些策略在纯策略意义下不是严格下策， 在混合策略意义下却成了严格下策。

看下面这个博弈：

在纯策略意义上，这个博弈中不存在任何严格下策：从博弈方 2 的角度看，当博弈方 1 选 U、M 两策时 R 优于 L， 而当博弈方 1 选 D 时 L 优于 R，因此 L 和 R 都不是严格下策；博弈方 1 的三个策略两两之间也没有哪个绝对更好或更差。 所以只考虑纯策略时，严格下策反复消去法无从运用。

但如果允许博弈方 1 采取混合策略，情况就不同了。设博弈方 1 采取以概率分布（1/2, 1/2, 0）随机选择 U、M、D， 即各一半机会选 U、M、不选 D。那么与这个混合策略相比，D 一定是博弈方 1 的严格下策：

也就是说，不管博弈方 2 采用哪种策略（包括所有可能的纯策略和所有混合策略）， 博弈方 1 采用上述混合策略的期望得益始终为 3/2，都大于采用 D 策略时能得到的确定性得益 1。 由于假设博弈方是风险中性的，因此 D 相对于混合策略（1/2, 1/2, 0）是严格下策。

既然 D 在有混合策略时是严格下策，就可从博弈方 1 的策略空间中消去。此时 L 策又成为博弈方 2 相对于 R 策的严格下策， 也可消去。最后在剩下的两个策略组合中，博弈方 1 当然选到纳什均衡 （M, R），此时双方得益为 （3, 3）。

把策略空间扩展到包括混合策略、把纳什均衡扩展到包括混合策略纳什均衡以后， 2.3 节的反应函数分析方法也可以扩展过来。

在纯策略范畴内，反应函数是各博弈方选择的纯策略对其他博弈方纯策略的反应。在混合策略范畴内， 博弈方的决策内容是选择概率分布，反应函数就是一方对另一方的概率分布的反应，同样也是一定的概率分布。 由于纯策略可以理解为混合策略，因此反应函数的概念实际上可以在"混合策略概率分布之间反应"的意义上统一起来。

猜硬币：两个阶梯

设（r, 1−r）是盖硬币方随机选择正反面的混合策略， （q, 1−q）是猜硬币方的混合策略，那么两博弈方的反应函数就是 r 和 q 之间的相互决定关系。

根据前面的讨论：当猜硬币方选择猜正面的概率 q < 1/2 时，盖硬币方应选正面（即 r = 1），因为这样赢多输少； 相反，如果 q > 1/2，则盖硬币方应选反面（即 r = 0）； 而当 q = 1/2 时，对盖硬币方来说 r 等于任何值都一样。 把 r 随 q 的这种变化写成函数，就是图 2.28 中粗线所示的 r = R₁(q)。

把两条反应函数合并在一张图上就得到图 2.30：

从图 2.30 我们看到，两博弈方的反应函数相交于（1/2, 1/2），且这是唯一的交点。 这就是说只有 r = 1/2 和 q = 1/2 才是相互对对方最佳反应的混合策略概率分布 —— 这正是本博弈唯一的混合策略纳什均衡，与前面得到的结论完全一致。

夫妻之争：三个交点

混合策略反应函数也可以用来研究夫妻之争。设妻子的混合策略为（r, 1−r），丈夫的为（q, 1−q）。

• 如果 q < 1/3，则妻子选时装的期望得益 2q < 2/3，不如选足球的期望得益 1−q > 2/3， 因此妻子应选足球，即 r = 0；
• 如果 q > 1/3，则妻子选时装的得益 2q > 2/3，大于选足球的得益 1−q < 2/3，因此该选时装，即 r = 1；
• 当 q = 1/3 时，r 取 0 与 1 之间任何值对妻子的得益都一样。

因此妻子的反应函数如图 2.31 中的 r = R₁(q)。同样，根据 r < 3/4、r > 3/4 和 r = 3/4 分别确定 q 的反应，得出丈夫对妻子的反应函数 R₂(r)。

图 2.31 中两博弈方的反应函数有三个交点：

• （0, 0），即 r = q = 0 —— 纯策略纳什均衡（足球，足球）；
• （1, 1），即 r = q = 1 —— 纯策略纳什均衡（时装，时装）；
• （3/4, 1/3） —— 对应妻子以（3/4, 1/4）随机选时装、足球，丈夫以（1/3, 2/3）随机选时装、足球， 正是 2.4.2 节求出的那个混合策略纳什均衡。

猜硬币、小偷和守卫等许多常见博弈都不存在纯策略纳什均衡，但如果把策略扩展到包括混合策略， 这些博弈在混合策略的意义上就有了纳什均衡。虽然混合策略纳什均衡与纯策略纳什均衡有差别 （如对一次性博弈结果的预测作用很小），但它在揭示博弈方决策的方法、揭示博弈问题的效率意义等方面还是非常有用的。

于是关键问题变成：混合策略纳什均衡具有普遍性吗？换句话说，如果所有没有纯策略纳什均衡的博弈都有混合策略纳什均衡， 对博弈分析的理论和应用价值就是非常重要的支持。幸运的是，这个问题的结论是肯定的。1950 年纳什提出的纳什定理首先证明了这个结论。

用更通俗的语言：每一个有限博弈都至少有一个混合策略纳什均衡。这句话是本章（乃至整本书）最重要的一个保证。

证明的思路：不动点

纳什对这个定理的证明可以这样表述：每个 n 博弈方的博弈组成的策略组合，都是 n 个博弈方策略空间相乘得到的 n 维乘积空间中的一个点。对每个这种策略组合，都可以找出由 n 个博弈方对它的最佳反应策略构成的 一个或多个策略组合，这就形成了一个从上述乘积空间到它自身的一对多（One-to-many）的映射。

由于引进混合策略以后，在期望得益的意义上得益函数都是连续函数，因此映射的图形是封闭的（闭集）， 且每个点在映射下的影像都是凸集。根据角谷（Kakutani）的不动点定理，可知该映射至少有一个不动点 —— 这个不动点就是一个纳什均衡策略组合。

为了理解这个证明中起关键作用的不动点定理，书里先用一个更基本的形式来说明：

角谷的不动点定理实际上就是关于一维空间上映射（也就是一元函数）的布鲁威尔不动点定理， 在 n 维空间映射上的推广，其意义是：在 n 维空间的有界闭凸集上的连续映射，至少存在一个不动点， 即影像与原像是同一点。因为在混合策略的意义上，博弈方之间的策略反应构成的正是 n 维空间上的连续映射， 因此根据角谷不动点定理，这种映射至少存在一个不动点 —— 而这种不动点就是混合策略意义上的纳什均衡。

2.5.2 纳什定理的意义和扩展

纳什均衡的普遍存在性，意味着纳什均衡分析在我们所遇到的大多数博弈问题中，都是一种基本的分析方法。 书里给出的逻辑链条很值得记：

1950 年以后，纳什自己和其他人又用不同的方法、或对不同的博弈类型范围，重新证明了纳什均衡的存在性。 其中最重要的扩展是把针对有限策略形博弈的纳什定理，推广到策略不可数、有连续得益函数的无限博弈中：

这些工作的基本结论是：纳什均衡在相当广泛的博弈类型中是普遍存在的，至少可以保证存在一个混合策略纳什均衡， 在有些类型的博弈中更可以证明至少存在一个纯策略纳什均衡。

纳什均衡分析"并不一定能彻底解决一个博弈问题"，因为纳什均衡的存在性不等于唯一性。 在许多博弈中纳什均衡不唯一，而且不同的纳什均衡相互之间也没有明显的优劣关系，从而博弈方的选择会遇到困难。 这一节讨论的就是多重纳什均衡导致的选择问题。

一、帕累托上策均衡

并不是所有多重均衡博弈都会导致分析困难。因为虽然有些博弈存在多个纳什均衡，但很可能这些纳什均衡有明显的优劣差异， 所有博弈方都偏好其中同一个。换句话说，可能有某个纳什均衡给所有博弈方带来的利益，都大于其他所有纳什均衡会带来的利益。 这时候各方的选择倾向性就会一致 —— 不仅自己会选它，而且可以预料其他人也会选它，因此不会有选择困难。

这种选择依据的实际上就是帕累托效率意义上的优劣关系，因此用这种方法选择出来的纳什均衡也称为帕累托上策均衡。 书里用"战争与和平"博弈来说明：

这个得益矩阵"充分反映了战争对双方都是不利的，但当一个国家选择战争时，另一个国家不作抗争会更悲惨的一般规律"。 博弈中有两个纯策略纳什均衡（战争，战争）和（和平，和平），而（和平，和平）在帕累托效率意义上明显较好， 因此它构成本博弈的一个帕累托上策均衡。

书里给出的推理是：虽然对双方来说最佳选择都取决于对方的选择（对方和平时自己选和平最佳，对方战争时自己选战争最佳）， 但因为和平共处对双方都更有利，因此每个国家不仅自己希望实现（和平，和平），而且能指望对方也会选择和平， 所以（和平，和平）应该是这个博弈的合理结果。这正是帕累托上策均衡的现实基础和意义。

二、风险上策均衡

帕累托上策均衡并不是有强制力的法则。更重要的是，有时候其他某种同样是合理的选择逻辑的作用会超过帕累托效率的逻辑， 因此完全理性的决策者也不一定会选择帕累托上策均衡。

本博弈有两个纯策略纳什均衡（U, L）和（D, R），并且（U, L）的双方得益大于（D, R）， 因此前者是帕累托上策均衡，采用它显然符合双方最大利益。但事情并不一定这么简单：

• 虽然双方都采用（U, L）时得益都比（D, R）多 2 单位，但如果一方采用了（U, L）的策略而另一方没有， 那么前者的得益是很差的 0 单位 —— 比他们分别采取 D 或 R 的得益（至少 7 单位，不管对方策略是什么）要低得多；
• 这意味着采用（U, L）对两博弈方来说都有较大的风险。事实上对两个博弈方来说， 只要另一方偏离（U, L）的可能性大于 1/8，（D, R）就是比（U, L）更明智的选择；
• 所以如果考虑风险因素，（D, R）就有相对优势：虽然它在帕累托效率意义上不如（U, L）， 但在风险较小的意义上却优于（U, L）。当人们希望更保险一些、想要回避风险时就会选择（D, R）。

称（D, R）是这个博弈的一个风险上策均衡（Risk-dominant Equilibrium）。

猎鹿博弈：一个生动的例子

猎鹿（Stag-hunting）博弈是体现风险上策均衡思想的一个生动例子：两个人同时发现 1 头鹿和 2 只兔子。 如果两人合力抓鹿，则可以把这头价值 10 单位的鹿抓住，兔子当然抓不到了； 如果两人都去抓兔子，则各可以抓到 1 只价值 3 单位的兔子，鹿就会跑掉； 但如果一个人选择了抓兔子而另一个人选择了抓鹿，那么选择抓兔子的人能抓到 1 只兔子，选择抓鹿的人则什么也抓不到。 由于两人的决策必须在瞬间作出、根本来不及商量，因此这就是一个静态博弈。若合作猎获的鹿双方平分：

这个博弈也有两个纳什均衡（鹿，鹿）和（兔子，兔子），而且前一个也是帕累托上策均衡。 但由于在另一人选择抓兔子的情况下，选择抓鹿的人会一无所获，而选择抓兔子的利益则是有保障的， 因此选择抓鹿有很大的风险。例如从其中一人的立场上，假设另一人选择抓鹿和抓兔子的概率都是 1/2， 那么此时他抓兔子能得到确定性的得益 3 单位，而选择抓鹿的期望得益为 2.5 单位，前者显然优于后者。 因此（兔子，兔子）是这个猎鹿博弈的一个风险上的均衡，精明的博弈方往往会选择抓兔子而不是抓鹿。

多重纳什均衡的真正困难，主要还在于不存在帕累托上策均衡。如夫妻之争的三个纳什均衡中， 除了混合策略均衡明显较差以外，两个纯策略均衡之间不存在帕累托效率意义上的优劣关系 —— 一个对丈夫有利，另一个对妻子有利，因此两个博弈方究竟会怎么选择很难判断。

但也不是所有此类博弈中人们的选择都无法判断。事实上，人们在许多情况下的决策选择常会受到心理、习惯、文化、环境等多种因素的影响， 而且也会发展出特定的方法来解决决策选择的困难。聚点均衡和相关均衡就是很好的例子。

一、聚点均衡

根据人们对类似夫妻之争这类博弈所进行的实验，发现大多数博弈方通常似乎知道在这样的博弈中该怎么选择， 而且博弈方之间经常能够相互理解对方的行为；也发现博弈方往往会利用博弈规则以外的特定信息 —— 如共同的文化背景中的习惯或规范、共同的知识，或者具有特定意义事物的特征，某些特殊的数量、位置关系等。

称"中午 12 点"和"0 点"这样的策略为上述博弈的聚点（Focal Points）。 在多重纳什均衡的博弈中，双方同时选择一个聚点构成的纳什均衡称为聚点均衡。 当然，聚点均衡首先是纳什均衡，是多重纳什均衡中比较容易被选择的纳什均衡。

二、相关均衡

人们在现实中遇到选择困难时，特别是在长期中反复遇到类似难题时，常会通过收集更多信息，形成特定的机制和规则， 也就是某种形式的制度安排等主动寻找出路。因此对于多重纳什均衡选择的难题，我们也应该考虑博弈方主动寻求方法、 设计某种形式的均衡选择机制的可能性。"相关均衡"（Correlated Equilibrium）就是这样的一种均衡选择机制。

在这个博弈中，（U, L）和（D, R）是两个纯策略纳什均衡，另外有一个混合策略纳什均衡 [(1/2,1/2), (1/2,1/2)]。 问题在于：

• 两个纯策略纳什均衡虽然都能使两博弈方得到 6 单位得益总和（5+1 和 4+4）， 但双方的利益相差很大，因此很难在两博弈方之间形成自然的妥协 —— 聚点均衡的概念是不适用的；
• 如果采用混合策略纳什均衡，因为有 1/4 的可能性遇到最不理想的（U, R）， 因此双方的期望得益都只有 2.5 单位，显然也不理想。

由于避免出现（U, R）结果符合双方的利益，因此双方有可能通过协商约定采用这样的选择规则：

进一步发展上述思路，其实图 2.36 中博弈还可能实现更好的结果 —— 该博弈有一个总得益更高的策略组合 （D, L） （总得益 8，而两个纯策略均衡都只有 6）。由于它不是纳什均衡，因此除了混合策略纳什均衡中包含采用它的可能性以外， 在一次性博弈中无法实现它。如果把抛硬币的方法加以发展，就可以设计出一种能够包含这个策略组合、同时又能排除（U, R）的方法。

这种方法的关键是发出下列"相关信号"（Correlated Signals）的"相关装置"：

1. 该装置以相同的可能性（各 1/3）发出 A、B、C 三种信号；
2. 博弈方 1 只能看到该信号是否 A，博弈方 2 只能看到该信号是否 C；
3. 博弈方 1 看到 A 采用 U，否则采用 D；博弈方 2 看到 C 采用 R，否则采用 L。

该机制有下列重要性质：（1）保证 U 和 R 不会同时出现，即排除掉了（U, R）； （2）保证 (U,L)、(D,L) 和 (D,R) 各以 1/3 的概率出现，从而两博弈方的期望得益达到 3 + 1/3； （3）上述策略组合是一个纳什均衡； （4）该相关装置并不影响双方各种策略组合下的得益，因此并不影响原来的均衡 —— 即如果一个博弈方忽视信号，另一个博弈方也可以忽视信号，并不影响各博弈方原来可能实现的利益。

称双方根据上述相关装置选择策略构成的纳什均衡为相关均衡。上述相关均衡虽然仍不能完全实现（D, L）， 但至少在具有稳定性的前提下部分实现了它，因此对提高博弈效率是有意义的。

进一步考虑静态博弈中纳什均衡分析的有效性，很容易发现在多人博弈中， 有可能存在部分博弈方之间联合追求小团体利益的行为，也可能会导致纳什均衡的不稳定性。 对这种可能性的考虑，导出了"防共谋均衡"（Coalition-proof Equilibrium）的概念。

一、多人博弈中的共谋问题

在有多个博弈方的多人博弈中，如果部分博弈方通过某种形式的默契或串通形成小团体， 可能得到比不串通时更大的利益，那么这些博弈方就有很强的相互串通、联合行动的动机。 这时候通常的纳什均衡分析在这样的博弈问题中也会遇到问题。

博弈方 1 选择行策略 U、D，博弈方 2 选择列策略 L、R，博弈方 3 选择矩阵 A、B。 不难发现该博弈有两个纯策略纳什均衡（U, L, A）和（D, R, B），且前者： 帕累托优于后者（0 > −1、0 > −1、10 > 5），而且在风险上策的意义上前者也优于后者。

如果博弈方各自独立决策和采取行动、不考虑部分博弈方串通一致行动的可能性，那么该博弈的结果应该是（U, L, A）。

二、防共谋均衡

上述共谋问题引出了"防共谋均衡"的思想。它是两个以上博弈方的博弈中， 博弈方之间在帕累托上策均衡中进行合作的思想的扩展。防共谋均衡可以通过对共谋（串通）范围的归纳过程来定义：

显然，防共谋均衡的目标就是要排除由于多人博弈中可能存在部分博弈方结成小团体联合行动会给博弈结果带来的不稳定性和问题。 由于它排除了这样的可能性，因此能使博弈分析的结论和预测更加可靠。 在串通和勾结有利可图的情况下，防共谋均衡解释社会经济现象和预测结果的能力， 往往比一般的纳什均衡概念或其他博弈分析概念更强。

事实上，在排除了共谋的影响以后，多人博弈与两人博弈之间就不再有明显的区别， 前面所使用的纳什均衡、帕累托上策均衡、风险上策均衡分析等就都可以适用了。

由于（D, R, B）在帕累托效率意义上明显比（U, L, A）差，因此上述分析揭示的实际上是 存在于多人博弈中的、另一种意义上的更复杂的"囚徒的困境"问题。

一条主线：有了先后，就有了不可信的话；有了不可信的话，纳什均衡就不够用了。三小节正好走完这三步。

下一节（3.3）会把这条思路正式升级成一个均衡概念 —— 子博弈完美纳什均衡。 本节的逆推归纳法是它的算法，它是逆推归纳法的名字。

现实中的许多决策活动是依次选择而不是同时选择的，而且后选择的人能看到先选择的人选了什么： 商业活动中的讨价还价、拍卖活动中的轮流竞价、资本市场上的收购兼并和反收购兼并都是这样。 依次选择与一次性同时选择有很大差异，因此这类决策问题构成的博弈与静态博弈很不相同， 我们称它们为动态博弈（Dynamic Games）。

本章讨论既是完全信息又是完美信息的那一部分，称为"完全且完美信息动态博弈"。 如不特别说明，本章中"动态博弈"就是指它。不完全信息、不完美信息的动态博弈留到后面的章节。

阶段与三种别名

动态博弈中一个博弈方的一次选择行为常称为一个"阶段"（Stage）。 动态博弈中也可能存在几个博弈方同时选择的情况，这时这些博弈方的同时选择构成一个阶段。 一个动态博弈至少有两个阶段，因此它也被称为"多阶段博弈"（Multistage Games）； 又因为次序特征，也有人叫它"序列博弈"（Sequential Games）。

扩展形：把"谁先谁后"画出来

导论中表示"先来后到"博弈和迷宫博弈时，用的是一种统一的画法： 通过选择节点、从节点出发表示各种可能选择的线段，以及博弈终端处的得益数组来表示博弈。 这种表示法称为"扩展形"，也有人叫它"博弈树"。 由于扩展形能反映选择次序和博弈的阶段，它是表示（阶段数和可选行为数量都较少的）动态博弈的最佳方法—— 动态博弈因此也常被称为"扩展形博弈"（Extensive Form Game）。

下面这个例子比导论里那两个更复杂，用来展示扩展形能表示多阶段博弈：

为了简单起见，假设仿冒最多进行 2 次，各情形下仿冒企业 A 和被仿冒企业 B 的得益分别为：

其他许多博弈也可以用这种扩展形表示，只是选择节点数、每个节点的可选行为数量不同而已。 如果进一步考虑仿冒更多次数的可能性、考虑仿冒有规模和程度的不同、制止有不同的力度， 表示该博弈的扩展形就会更复杂 —— 有些选择节点处会有 3 个甚至更多的选择。

一、策略和结果的含义都变了

在静态博弈中，博弈方一次性同时选择的行为就是博弈方的策略。但在动态博弈中，各个博弈方的选择和行为 不仅有先后之分，而且一个博弈方的选择很可能不止一次，并且在不同阶段的多次行为之间有内在联系， 是不能分割的整体。因此在动态博弈中，把某个阶段的行为割裂开来研究意义不大。

这个定义听起来抽象，两个例子就清楚了：

把动态博弈理解成各博弈方以这样的策略进行博弈之后，形式上似乎与上一章的静态博弈一致起来了： 两人动态博弈也可以用得益矩阵表示（行列分别是两博弈方上述意义上的策略），称为动态博弈的 "得益矩阵形"或"策略形"。不过得益矩阵表示动态博弈总体上不如扩展形好， 因为它无法反映动态博弈的次序关系，以及不同阶段之间的内在影响和联系。

二、博弈的结果也有三样东西

在静态博弈里，结果就是策略组合和对应的得益。在动态博弈里，结果包括三部分：

1. 各博弈方的策略组合 —— 例如 A 与 B 各自那套带条件的完整计划。
2. 由策略组合形成的、联结各个阶段的路径（Path）—— 例如"第一阶段 A 仿冒 → 第二阶段 B 不制止 → 第三阶段 A 仿冒 → 第四阶段 B 制止"，在扩展形图上连成了一条路。
3. 路径终端处得益数组里的数字 —— 上例落实为 A 得 2、B 得 2。

三、非对称性：先手与后手不是对称的

因为选择有先后次序，且后行为者能观察到此前选择行为博弈方的选择，因此动态博弈中各博弈方的 地位是不对称的 —— 这与所有博弈方一次性同时选择的静态博弈明显不同。

一般来说，后行为的博弈方有更多信息帮助自己选择，可减少决策的盲目性，因此处于较有利的地位。 但是：

动态博弈中博弈方的策略是他们自己预先设定的。这些策略实际上并没有强制力，而且实施起来有一个过程， 因此只要符合博弈方自己的利益，他们完全可以在博弈过程中改变计划。 我们称这种问题为动态博弈中的"相机选择"（Contingent Play）。

相机选择的存在，使得博弈方策略中所设定的"各个阶段、各种情况下会采取行为"的可信性（Credibility） 有了疑问：各个博弈方是否会真正、始终按照自己的策略所设定的方案行为，还是可能临时改变自己的行动方案？

开金矿博弈：一个许诺的四个版本

甲在开采一价值 4 万元的金矿时缺 1 万元资金，而乙正好有 1 万元可以投资。甲想说服乙把这 1 万元借给自己， 并许诺采到金子后与乙对半分。乙该不该借？

金矿价值经过权威部门探测确认，不必怀疑，所以乙最需要关心的是：甲采到金子后是否会履行诺言。

乙的处境很清楚：选择"不借"虽能保住本钱但也不会有更多的收益；选择"借"时，若甲信守诺言则能获得 100% 的利润， 但如果甲食言则会血本无归。他决策的关键是要判断甲的许诺是否可信。

按照第一章就说明过的假设 —— 博弈方都以自身利益（得益）最大化为目标，不考虑道德因素 —— 甲轮到行为时的选择必然是"不分"，独吞 4 万。乙当然清楚甲的行为准则， 因此最合理的选择是"不借"，保住自己的本钱。本博弈中甲有一个不可信的许诺。

有不可信的许诺，甲、乙的合作最终成为不可能，这当然不是最佳结局：开金矿的 3 万元社会净利益 （金的 4 万减去开采成本，也等于甲的 2 万利润加乙的 1 万资本增值）没有能够实现。 有没有办法使许诺变成可信的？关键在于必须增加一些对甲行为的制约。

在图 3.2 中，当甲选择"不分"时，乙完全无可奈何，没有任何保护自己权益的手段。 如果把法律武器交给乙 —— 让他在甲违约时可以"打官司"，情况就会不同。 考虑到打官司通常要消耗大量人力物力，并且常常不能充分保障胜诉当事人的全部权益， 这里假设打官司的结果是乙能收回本钱 1 万元，而甲则会失去全部采金收入。 这样博弈就成了一个三阶段动态博弈：多了一个乙选择是否打官司的第三阶段。

两图唯一的差别就是左下角那个数：+1 还是 −1。整章的故事都从这个数字的分量里长出来。

可信性问题更重要的意义，在于它对纳什均衡在动态博弈中的有效性提出了质疑。用图 3.4 的开金矿博弈来说明。

把静态博弈的策略概念扩展到动态博弈的策略以后，理论上完全可以用静态博弈的纳什均衡概念分析这个博弈。 根据纳什均衡的定义不难判断，下面这个策略组合确实是一个纳什均衡：

因为给定对方的策略，双方的策略都是符合自己最大利益的最佳策略，单独偏离对自己都是不利的：

• 给定乙的第一、第三阶段的选择，甲在第二阶段选择"分"是最好的 —— "不分"导致法律纠纷得不偿失。
• 给定甲在第二阶段会选择"分"，乙第一阶段应该选择"借"，第三阶段选择的"打"也是符合自己利益的。

这里值得注意的是：在双方的这个策略下，乙第三阶段的"打"并不需要真正实施。 但因为它是保证第二阶段甲会选择"分"的关键，因此乙的策略中必须包含这个选择 —— 即使单独改变这个选择不会影响利益（给定甲没有想到也改变策略），乙也不能随便改变该选择。

既然这是纳什均衡，那么按照第二章的讨论，它应该是具有稳定性的、可以成为预测博弈结果的基础。 由于该纳什均衡实现的结果是一种合作的、较好的结果，我们似乎应该判断两个博弈方会这样选择。

矛盾的根源：纳什均衡不能排除不可信的行为设定

上述纳什均衡具有一种内在不稳定性，并不是真正稳定的。原因在于： 如果甲在第二阶段选择了"不分"而不是"分"，乙策略中设定的第三阶段"打"是不可信的，不可能真正实施， 理由是该行为对乙自身也是不利的 —— 追求自身利益最大化的乙的理性不允许他这么做。

甲只要稍作分析就可以掌握乙的这个弱点，因此不可能理睬乙策略中的"打官司"威胁，在第二阶段不会选择"分"。 反过来，乙也不会愚蠢到想靠一个明显不可信的威胁撑腰，冒险将资金借给甲，因此他在第一阶段也不可能"借"。

这句话就是下一节的路线图：3.3 节要造的那个概念（子博弈完美纳什均衡）， 唯一的新增要求就是"能自动过滤掉不可信的威胁和承诺"。

首先值得注意的是：3.2.1 节对几种版本开金矿博弈的分析结论都是正确的， 对博弈方的选择和博弈结果都作出了正确的判断，都排除了博弈方不可信的行为选择。 那里的分析之所以能做到这一点，根本原因是（虽然当时没有明讲，但事实上都是）采用了一种分析动态博弈的有效方法 ——

逻辑基础

动态博弈中先行为的理性博弈方，在前面阶段选择行为时必然会先考虑后行为博弈方在后面阶段将会怎样选择行为。 只有在博弈的最后一个阶段选择的、不再有后续阶段牵制的博弈方，才能直接作出明确选择。 而当后面阶段博弈方的选择确定以后，前一阶段博弈方的行为也就容易确定了。

一般方法：把多阶段博弈压成单人博弈

从最后一个阶段开始分析，每一次确定出所分析阶段博弈方的选择和路径，然后再确定前一个阶段的博弈方选择和路径。 逆推归纳到某个阶段，那么这个阶段及以后的博弈结果就可以肯定下来，该阶段的选择节点等于一个结束终端。 我们甚至可以用不包括该阶段与其后所有阶段的等价博弈来代替原来的博弈。

拿图 3.4 的开金矿博弈走一遍：

1. 先分析第三阶段乙是否打官司。由于"打"比"不打"损失更大，他必然会选择"不打"。 因此一旦博弈进行到这个阶段，结果必然是乙"不打"，双方得益为 (0, 4)。 所以在分析前两个阶段时，上述三阶段博弈与图 3.5 中的两阶段博弈完全等价。
2. 再对这个两阶段博弈继续运用逆推归纳法：甲在第二阶段的选择必然是"不分"， 因此该博弈可进一步化为图 3.6 中的等价博弈。
3. 最后得到的等价博弈已经只是一个单人博弈了 —— 分析这个单人博弈非常简单， 乙"不借"的选择是很显然的。

逆推归纳法事实上就是把多阶段动态博弈转化为一系列的单人博弈：通过对一系列单人博弈的分析， 确定各博弈方在各自选择阶段的选择，最终对博弈结果 —— 包括博弈的路径和各博弈方的得益 —— 作出判断； 归纳各个博弈方各阶段的选择，则可得到各个博弈方在整个动态博弈中的策略。

▶ 动手走一遍：逆推归纳法剪枝（3.3 节末尾）

把四张图并排看，唯一的变量就是左下角那个数。动态博弈的全部戏剧性，都藏在"说到"与"做到"之间的那点利益差里。